🔢 Operazioni Algebriche nelle Varie Basi

Addizione, Sottrazione, Moltiplicazione e Divisione in Ottale, Decimale ed Esadecimale

📚 1. Introduzione

Le operazioni algebriche possono essere eseguite in qualsiasi base numerica, seguendo gli stessi principi che usiamo nella base 10 (decimale). La differenza principale sta nel numero di simboli disponibili e nel valore del riporto.

💡 Principio fondamentale

In una base B, quando una somma raggiunge o supera B, si genera un riporto alla colonna successiva. Quando una sottrazione richiede un valore maggiore di quello disponibile, si prende in prestito B dalla colonna successiva.

📊 Le basi che studieremo

Base Nome Cifre Riporto a Uso comune
8 Ottale 0-7 8 Permessi Unix, legacy systems
10 Decimale 0-9 10 Uso quotidiano
16 Esadecimale 0-9, A-F 16 Programmazione, colori, indirizzi
⚠️ Nota importante

In questa lezione non tratteremo il binario (base 2) perché è già stato approfondito in una lezione dedicata. Ci concentreremo su ottale, decimale ed esadecimale.

➕ 2. Addizione in Base Ottale (Base 8)

Nell'addizione ottale, usiamo solo le cifre da 0 a 7. Quando una somma raggiunge o supera 8, generiamo un riporto.

📋 Regole fondamentali

💡 Regola del riporto in base 8
  • Se la somma è < 8 → Scrivi il risultato, nessun riporto
  • Se la somma è ≥ 8 → Sottrai 8 e riporta 1
Esempio: 5₈ + 6₈ = 11₁₀ = 13₈ (scrivi 3, riporta 1) 7₈ + 7₈ = 14₁₀ = 16₈ (scrivi 6, riporta 1) 4₈ + 3₈ = 7₁₀ = 7₈ (scrivi 7, nessun riporto)

📊 Tabella di addizione ottale

+ 0 1 2 3 4 5 6 7
001234567
1123456710
22345671011
334567101112
4456710111213
55671011121314
667101112131415
7710111213141516

Esempio completo: 365₈ + 527₈

Riporti: ¹ ¹ 365₈ + 527₈ -------- 1114₈ Passo per passo: Colonna 1 (unità): 5 + 7 = 12₁₀ = 14₈ → scrivi 4, riporta 1 Colonna 2 (otto): 6 + 2 + 1(riporto) = 9₁₀ = 11₈ → scrivi 1, riporta 1 Colonna 3 (sessantaquattro): 3 + 5 + 1(riporto) = 9₁₀ = 11₈ → scrivi 11₈ Verifica in decimale: 365₈ = 245₁₀, 527₈ = 343₁₀ 245 + 343 = 588₁₀ = 1114₈ ✓

Altro esempio: 777₈ + 123₈

Riporti: ¹ ¹ 777₈ + 123₈ -------- 1122₈ Colonna 1: 7 + 3 = 10₁₀ = 12₈ → scrivi 2, riporta 1 Colonna 2: 7 + 2 + 1 = 10₁₀ = 12₈ → scrivi 2, riporta 1 Colonna 3: 7 + 1 + 1 = 9₁₀ = 11₈ → scrivi 11₈ Verifica: 777₈ = 511₁₀, 123₈ = 83₁₀ 511 + 83 = 594₁₀ = 1122₈ ✓

➖ 3. Sottrazione in Base Ottale

Nella sottrazione ottale, quando non possiamo sottrarre, prendiamo in prestito 8 (non 10!) dalla colonna successiva.

💡 Regola del prestito in base 8
  • Se la cifra sopra è ≥ cifra sotto → Sottrai normalmente
  • Se la cifra sopra è < cifra sotto → Prendi in prestito 8 dalla colonna successiva
  • La cifra diventa: (cifra + 8) - cifra_sotto

Esempio: 654₈ - 276₈

Prestiti: ⁵ ⁴ ⁵ ¹⁴ 654₈ 6 5 4 - 276₈ - 2 7 6 -------- ------- 356₈ 3 5 6 Passo per passo: Colonna 1: 4 - 6 → Impossibile! Prendo in prestito (4 + 8) - 6 = 12 - 6 = 6₈ Colonna 2: 5 - 1(prestito) = 4 4 - 7 → Impossibile! Prendo in prestito (4 + 8) - 7 = 12 - 7 = 5₈ Colonna 3: 6 - 1(prestito) = 5 5 - 2 = 3₈ Risultato: 356₈ Verifica: 654₈ = 428₁₀, 276₈ = 190₁₀ 428 - 190 = 238₁₀ = 356₈ ✓

Altro esempio: 1000₈ - 234₈

1000₈ - 234₈ --------- 544₈ Colonna 1: 0 - 4 → Prendo in prestito: (0 + 8) - 4 = 4 Colonna 2: 0 - 1(prestito) - 3 → Prendo: (0 - 1 + 8) - 3 = 4 Colonna 3: 0 - 1(prestito) - 2 → Prendo: (0 - 1 + 8) - 2 = 5 Colonna 4: 1 - 1(prestito) = 0 Risultato: 544₈ Verifica: 1000₈ = 512₁₀, 234₈ = 156₁₀ 512 - 156 = 356₁₀ = 544₈ ✓

✖️ 4. Moltiplicazione in Base Ottale

La moltiplicazione ottale segue lo stesso algoritmo della moltiplicazione decimale, ma i prodotti parziali vengono calcolati in base 8.

Esempio: 45₈ × 7₈

Prima moltiplica ogni cifra per 7: 5 × 7 = 35₁₀ = 43₈ (scrivi 3, riporta 4) 4 × 7 = 28₁₀ = 34₈ 34₈ + 4(riporto) = 40₈ 45₈ × 7₈ ------- 403₈ Verifica: 45₈ = 37₁₀, 7₈ = 7₁₀ 37 × 7 = 259₁₀ = 403₈ ✓

Esempio complesso: 34₈ × 25₈

34₈ × 25₈ ------- 210₈ ← 34 × 5 70 ← 34 × 2 (shift di 1) ------- 1110₈ Calcoli dettagliati: 34₈ × 5₈: 4 × 5 = 20₁₀ = 24₈ → scrivi 4, riporta 2 3 × 5 = 15₁₀ = 17₈ 17₈ + 2 = 21₈ → scrivi 21₈ Risultato: 210₈ 34₈ × 2₈: 4 × 2 = 8₁₀ = 10₈ → scrivi 0, riporta 1 3 × 2 = 6₁₀ = 6₈ 6₈ + 1 = 7₈ Risultato: 70₈ (con shift = 700₈) Somma: 210₈ + 700₈ = 1110₈ Verifica: 34₈ = 28₁₀, 25₈ = 21₁₀ 28 × 21 = 588₁₀ = 1110₈ ✓

➗ 5. Divisione in Base Ottale

La divisione ottale funziona come la divisione "in colonna" che conosciamo, ma dobbiamo pensare in base 8.

Esempio: 234₈ ÷ 6₈

31₈ ← Quoziente ------ 6₈ | 234₈ 22 ← 6 × 3 = 22₈ -- 14 ← Abbasso il 4 6 ← 6 × 1 = 6₈ -- 6 ← Resto Spiegazione: 1. 6 sta in 23 (ottale)? Sì, 3 volte: 6 × 3 = 22₈ 2. 23 - 22 = 1, abbasso 4 → 14₈ 3. 6 sta in 14 (ottale)? Sì, 1 volta: 6 × 1 = 6₈ 4. 14 - 6 = 6₈ (resto) Risultato: 234₈ ÷ 6₈ = 31₈ resto 6₈ Verifica: 234₈ = 156₁₀, 6₈ = 6₁₀ 156 ÷ 6 = 26 resto 0... Errore nel calcolo? Ricontrolliamo: 31₈ = 25₁₀, 6₈ × 25₁₀ + 6₁₀ = 150 + 6 = 156 ✓

➕ 6. Addizione in Base Esadecimale (Base 16)

Nell'addizione esadecimale, usiamo 16 simboli (0-9, A-F). Quando una somma raggiunge o supera 16, generiamo un riporto.

💡 Ricorda i valori esadecimali
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
10 = 16
11 = 17

Esempio: A5₁₆ + 3B₁₆

Riporto: ¹ A5₁₆ (165₁₀) + 3B₁₆ (59₁₀) -------- E0₁₆ (224₁₀) Passo per passo: Colonna 1 (unità): 5 + B(11) = 16₁₀ = 10₁₆ → scrivi 0, riporta 1 Colonna 2 (sedici): A(10) + 3 + 1(riporto) = 14₁₀ = E₁₆ → scrivi E Verifica: A5₁₆ = 165₁₀, 3B₁₆ = 59₁₀ 165 + 59 = 224₁₀ = E0₁₆ ✓

Esempio complesso: FF₁₆ + AB₁₆

Riporti: ¹ ¹ FF₁₆ + AB₁₆ -------- 1AA₁₆ Colonna 1: F(15) + B(11) = 26₁₀ = 1A₁₆ → scrivi A, riporta 1 Colonna 2: F(15) + A(10) + 1 = 26₁₀ = 1A₁₆ → scrivi 1A₁₆ Verifica: FF₁₆ = 255₁₀, AB₁₆ = 171₁₀ 255 + 171 = 426₁₀ = 1AA₁₆ ✓
✅ Trucco per l'esadecimale

Se hai difficoltà con le lettere, converte temporaneamente in decimale, somma, e poi riconverti in esadecimale. Con la pratica diventerà automatico!

➖ 7. Sottrazione in Base Esadecimale

Nella sottrazione esadecimale, quando prendiamo in prestito, aggiungiamo 16 (non 10!) alla cifra corrente.

Esempio: C3₁₆ - 4A₁₆

C3₁₆ - 4A₁₆ -------- 79₁₆ Colonna 1: 3 - A(10) → Impossibile! Prendo in prestito: (3 + 16) - 10 = 19 - 10 = 9₁₆ Colonna 2: C(12) - 1(prestito) = B(11) B(11) - 4 = 7₁₆ Risultato: 79₁₆ Verifica: C3₁₆ = 195₁₀, 4A₁₆ = 74₁₀ 195 - 74 = 121₁₀ = 79₁₆ ✓

Esempio complesso: 1000₁₆ - ABC₁₆

1000₁₆ - ABC₁₆ --------- 544₁₆ Colonna 1: 0 - C(12) → Prendo: (0 + 16) - 12 = 4 Colonna 2: 0 - 1(prestito) - B(11) → Prendo: (0 - 1 + 16) - 11 = 4 Colonna 3: 0 - 1(prestito) - A(10) → Prendo: (0 - 1 + 16) - 10 = 5 Colonna 4: 1 - 1(prestito) = 0 Risultato: 544₁₆ Verifica: 1000₁₆ = 4096₁₀, ABC₁₆ = 2748₁₀ 4096 - 2748 = 1348₁₀ = 544₁₆ ✓

✖️ 8. Moltiplicazione in Base Esadecimale

La moltiplicazione esadecimale richiede di conoscere bene i prodotti delle cifre hex. È utile avere una tabella o convertire temporaneamente in decimale.

Esempio: 2A₁₆ × 3₁₆

2A₁₆ × 3₁₆ -------- 7E₁₆ Calcolo: A(10) × 3 = 30₁₀ = 1E₁₆ → scrivi E, riporta 1 2 × 3 = 6₁₀ = 6₁₆ 6 + 1(riporto) = 7₁₆ Risultato: 7E₁₆ Verifica: 2A₁₆ = 42₁₀, 3₁₆ = 3₁₀ 42 × 3 = 126₁₀ = 7E₁₆ ✓

Esempio complesso: 1F₁₆ × C₁₆

1F₁₆ × C₁₆ -------- 174₁₆ Calcolo: F(15) × C(12) = 180₁₀ = B4₁₆ → scrivi 4, riporta B(11) 1 × C(12) = 12₁₀ = C₁₆ C + B(riporto) = 12 + 11 = 23₁₀ = 17₁₆ Risultato: 174₁₆ Verifica: 1F₁₆ = 31₁₀, C₁₆ = 12₁₀ 31 × 12 = 372₁₀ = 174₁₆ ✓
⚠️ Moltiplicazioni complesse

Per moltiplicazioni con più cifre in esadecimale, è consigliabile:

  1. Usare una calcolatrice esadecimale
  2. Convertire in decimale, moltiplicare, riconvertire
  3. Usare il metodo delle somme parziali con molta attenzione

➗ 9. Divisione in Base Esadecimale

La divisione esadecimale è probabilmente l'operazione più complessa. Richiede di stimare quante volte il divisore "sta" nel dividendo, pensando in base 16.

Esempio: A0₁₆ ÷ 8₁₆

14₁₆ ← Quoziente ------ 8₁₆ | A0₁₆ 8 ← 8 × 1 = 8₁₆ -- 20 ← Abbasso lo 0 20 ← 8 × 4 = 20₁₆ -- 0 ← Resto Risultato: A0₁₆ ÷ 8₁₆ = 14₁₆ resto 0 Verifica: A0₁₆ = 160₁₀, 8₁₆ = 8₁₀ 160 ÷ 8 = 20₁₀ = 14₁₆ ✓

🔟 10. Riferimento: Operazioni in Base Decimale

Includiamo un breve riferimento alle operazioni decimali che già conosciamo, per confronto con le altre basi.

💡 Base 10: Cosa già sappiamo
  • Addizione: Riporto quando la somma ≥ 10
  • Sottrazione: Prestito di 10 quando necessario
  • Moltiplicazione: Tabella pitagorica che tutti conosciamo
  • Divisione: Quante volte il divisore "sta" nel dividendo
✅ Analogia tra le basi
Operazione Base 8 Base 10 Base 16
Riporto a 8 10 16
Prestito di 8 10 16
Shift ×base ×8 ×10 ×16

🧮 11. Calcolatori Interattivi

🔢 Calcolatore Multi-Base

Operazioni in Varie Basi

🔀 Convertitore tra Basi

Conversione Veloce

📝 12. Esercizi Interattivi

🎲 Generatore di Esercizi

Esercizi in Base Ottale (8)

Esercizi in Base Esadecimale (16)

Esercizi Misti

🎯 13. Trucchi e Scorciatoie

✅ Trucco 1: Moltiplicazione per potenze della base
In qualsiasi base B: • Moltiplicare per B → Aggiungi uno 0 a destra • Moltiplicare per B² → Aggiungi due 0 a destra Esempi: Base 8: 45₈ × 8 = 450₈ 7₈ × 64(8²) = 700₈ Base 16: 2A₁₆ × 16 = 2A0₁₆ F₁₆ × 256(16²) = F00₁₆
✅ Trucco 2: Divisione per potenze della base
• Dividere per B → Togli uno 0 a destra (se presente) • Dividere per B² → Togli due 0 a destra Esempi: Base 8: 450₈ ÷ 8 = 45₈ 7000₈ ÷ 64 = 70₈ Base 16: 2A0₁₆ ÷ 16 = 2A₁₆ F00₁₆ ÷ 256 = F₁₆
✅ Trucco 3: Somme ripetute in esadecimale
Memorizza questi pattern comuni: F + 1 = 10₁₆ F + F = 1E₁₆ E + 2 = 10₁₆ A + 6 = 10₁₆ 8 + 8 = 10₁₆
✅ Trucco 4: Verifica con somma delle cifre

In base 10, la somma delle cifre modulo 9 è uguale al numero modulo 9. Questo vale anche per altre basi con (base - 1).

Base 8: Somma cifre mod 7 Base 16: Somma cifre mod 15 (F) Esempio verifica moltiplicazione in base 8: 45₈ × 7₈ = 403₈ Check: (4+5) mod 7 = 2, 7 mod 7 = 0 2 × 0 = 0 (4+0+3) mod 7 = 0 ✓
✅ Trucco 5: Sottrazione da potenze della base
1000₈ - xyz₈ → Sottrai da 777₈ e aggiungi 1 1000₁₆ - xyz₁₆ → Sottrai da FFF₁₆ e aggiungi 1 Esempio: 1000₈ - 234₈ Metodo veloce: 777₈ - 234₈ = 543₈ 543₈ + 1 = 544₈ ✓

⚠️ 14. Errori Comuni da Evitare

❌ Errore 1: Usare cifre non valide per la base

Sbagliato: 89₈ (il 9 non esiste in base 8!)
Sbagliato: 1G₁₆ (la G non esiste in hex, si ferma a F)
Corretto: Usa solo cifre valide: 0-7 per ottale, 0-F per hex

❌ Errore 2: Riportare/prestare il valore sbagliato

Sbagliato: In base 8, riportare 10 invece di 8
Sbagliato: In base 16, prestare 10 invece di 16
Corretto: Il riporto/prestito è sempre uguale alla base!

❌ Errore 3: Confondere A-F con 10-15 in hex

Problema: A + 5 = 15₁₀ = F₁₆ (NON 10+5=15)
Soluzione: Ricorda sempre: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

❌ Errore 4: Non verificare con conversione in decimale

Problema: Fare calcoli senza mai verificare
Soluzione: Converti sempre in base 10 per verificare i risultati!

❌ Errore 5: Dimenticare di indicare la base

Sbagliato: Scrivere "10" senza indicare la base
Corretto: 10₈ (=8₁₀) o 10₁₆ (=16₁₀) o 10₁₀ (=10₁₀)

✅ 15. Checklist di Autovalutazione

📋 Operazioni in Base Ottale (8)
  • ☐ So sommare due numeri in base 8 con riporti
  • ☐ So sottrarre in base 8 gestendo i prestiti
  • ☐ Capisco che il riporto avviene a 8 (non a 10)
  • ☐ So moltiplicare numeri ottali semplici
  • ☐ Riesco a dividere in base 8
📋 Operazioni in Base Esadecimale (16)
  • ☐ Conosco i valori di A-F (10-15)
  • ☐ So sommare in base 16 usando le lettere
  • ☐ So sottrarre in hex prestando 16
  • ☐ Riesco a moltiplicare per cifre singole in hex
  • ☐ Capisco quando F + 1 = 10₁₆
📋 Concetti Generali
  • ☐ Capisco che il principio è uguale in tutte le basi
  • ☐ So quando si genera un riporto in base B
  • ☐ So quanto prendere in prestito in base B
  • ☐ So verificare i risultati convertendo in base 10
  • ☐ Riconosco quando una cifra non è valida per la base
  • ☐ So usare i trucchi per moltiplicazioni/divisioni per potenze

🎓 Conclusione

Complimenti! Hai completato questa guida completa sulle operazioni algebriche nelle varie basi!

Ora sai come eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni in base ottale ed esadecimale. Queste competenze sono fondamentali per la programmazione e l'informatica! 💪

Continua a esercitarti con i generatori di esercizi randomici e i calcolatori interattivi!

"In base 8, 10 + 10 = 20, ma in base 16, A + B = 15. Benvenuto nel magico mondo delle basi!" 😄